Question

某單位為普及奧運(yùn)知識(shí)，根據(jù)問(wèn)題的難易程度舉辦A，B兩種形式的知識(shí)競(jìng)猜活動(dòng)． A種競(jìng)猜活動(dòng)規(guī)定：參賽者回答6個(gè)問(wèn)題后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，答對(duì)4個(gè)，可獲福娃一個(gè)，答對(duì)5個(gè)或6個(gè)，可獲其它獎(jiǎng)品；B種競(jìng)猜活動(dòng)規(guī)定：參賽者依次回答問(wèn)題，答對(duì)一個(gè)就結(jié)束競(jìng)猜且最多可回答6個(gè)問(wèn)題，答對(duì)一個(gè)問(wèn)題者可獲福娃一個(gè)．假定參賽者答對(duì)每個(gè)題的概率均為．
（I）求某人參加A種競(jìng)猜活動(dòng)只獲得一個(gè)福娃獎(jiǎng)品的概率；
（II）設(shè)某人參加B種競(jìng)猜活動(dòng)，結(jié)束時(shí)答題數(shù)為η，求Eη．

Answer 1

【答案】分析：（1）參賽者回答6個(gè)問(wèn)題后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，答對(duì)4個(gè)，可獲福娃一個(gè)，依題意答對(duì)一題的概率為，則根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果．
（2）根據(jù)題意得到變量的可能取值，根據(jù)變量對(duì)應(yīng)的事件，解出概率，寫(xiě)出分布列和期望，在解期望時(shí)，這幾項(xiàng)的和解題較困難，因此要構(gòu)造新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減得到結(jié)果．
解答：解：（I）∵參賽者回答6個(gè)問(wèn)題后，統(tǒng)計(jì)結(jié)果，答對(duì)4個(gè)，可獲福娃一個(gè)
設(shè)事件“某人參加A種競(jìng)猜活動(dòng)只獲得一個(gè)福娃獎(jiǎng)品”為事件M，
依題意答對(duì)一題的概率為，則根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到
P（M）=
=．
（II）依題意，某人參加B種競(jìng)猜活動(dòng)，結(jié)束時(shí)答題數(shù)η=1，2，3，4，5，6，
則，
，
，
，
，
．
∴η的分布列是
∴
設(shè)，
則
∴=，
∴Eη==．
即某人參加A種競(jìng)猜活動(dòng)只獲得一個(gè)福娃獎(jiǎng)品的概率為；
某人參加B種競(jìng)猜活動(dòng)，結(jié)束時(shí)答題數(shù)為η，Eη為．
點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合問(wèn)題，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望并且結(jié)合數(shù)列求和的問(wèn)題，這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問(wèn)題．