已知三次函數(shù)f（x）=
1
3
ax3+
1
2
bx2-6x+1（x∈R），a，b為實常數(shù)．
（1）若a=3，b=3時，求函數(shù)f（x）的極大、極小值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f′（x）+7，其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)，若g（x）的導函數(shù)為g′（x），g′（0）＞0，g（x）與x軸有且僅有一個公共點，求
g(1)
g′(0)
的最小值．
（1）f(x)=x3+
3
2
x2-6x+1，∴f'（x）=3x2+3x-6=3（x-1）（x+2），
令f'（x）=0，∴x1=-2，x2=1，
x（-∞，-2）-2（-2，1）1（1，+∞）
f'（x）+0-0+
f（x）↗極大值↘極小值↗
f極大值=f（-2）=11，f極小值=f(1)=-
5
2
．
（2）由于g（x）=ax2+bx-6+7=ax2+bx+1（a≠0），
則g'（x）=2ax+b，g'（0）=b＞0，
又由g（x）與x軸有且僅有一個公共點，則b2-4a=0，
則
g(1)
g′(0)
=
a+b+1
b
=
a+1
b
+1=
b2
4
+1
b
+1=
b
4
+
1
b
+1≥2
b
4
1
b
+1=2，
（當且僅當
b
4
=
1
b
，即b=2時，等號成立）
則(
g(1)
g′(0)
)min=2．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若曲線y=x3在點P（1，1）處的切線與直線ax-by-2=0互相垂直，則
a
b
=______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f（x）=x3-3x2+1，則在曲線y=f（x）的切線中，斜率最小的切線方程是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導，其導函數(shù)y=f'（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有（　�。�
A．一個極大值，一個極小值
B．一個極大值，兩個極小值
C．兩個極大值，一個極小值
D．兩個極大值，兩個極小值

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

曲線y=x3-x在點（1，0）處的切線與直線x+ay=1垂直，則實數(shù)a的值為（　�。�
A．2B．-2C．
1
2
D．-
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f（x）=
3x
+1，則
lim
△x→0
f(1-△x)-f(1)
△x
的值為（　�。�
A．-
1
3
B．
1
3
C．
2
3
D．0

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f(x)=
x4
4
-
x3
3
的極值點為（　　）
A．0B．-1C．0或1D．1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+
1
2
（b-1）x2+cx．
（1）當b=-3，c=3時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上遞增，在（x1，x2）上遞減，x2-x1＞1，求證：b2＞2（b+2c）；
（3）在（2）的條件下，若t＜x1，試比較t2+bt+c與x1的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

函數(shù)f(x)=
x2+a
x+1
(a∈R)．
（1）若f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為
1
2
，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）在x=1取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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