Question

已知函數(shù)f（x）=ln

x-2

x-4

+

x

4

．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（II）判斷y=f（x）的圖象是否是中心對稱圖形，若是求出對稱中心并證明，否則說明理由；
（III）設(shè)g（x）的定義域為D，是否存在[a，b]⊆D．當x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是[

a

4

，

b

4

]，若存在，求實數(shù)a、b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用導數(shù)的運算法則求出導函數(shù)，利用極值點處的導數(shù)為0，列出表格判斷即可求出結(jié)果．
（II） 點（0，f（0）），（6，f（6））的中點是（3，

3

4

），所以f（x）的圖象的對稱中心只可能是（3，

3

4

）．方程（曲線）觀點要證f（x）的圖象關(guān)于（3，

3

4

）對稱，只需證明點Q也在y=f（x）上，即證y₀=f（x₀）即可．
（III）假設(shè)存在實a、b且[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．討論0≤b＜2，4＜a≤6，a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（6，+∞），
推出f（x）的取值范圍是不可能是[

a

4

，

b

4

]．因而滿足條件的實數(shù)a、b不存在．

解答：20．解：（I） f′(x)=

x(x-6)

4(x-2)(x-4)

．注意到

x-2

x-4

＞ 0，即x∈（-∞，2）∪（4，+∞），
由

x(x-6)

4(x-2)(x-4)

=0得x=6或x=0．所以當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（0）=ln

1

2

是f（x）的一個極大值，f（6）=ln2+

3

2

 是f（x）的一個極小值．
（II） 點（0，f（0）），（6，f（6））的中點是（3，

3

4

），所以f（x）的圖象的對稱中心只可能是（3，

3

4

）．
方程（曲線）觀點要證f（x）的圖象關(guān)于（3，

3

4

）對稱，只需證明點Q也在y=f（x）上，即證y₀=f（x₀）
設(shè)P（x，y）為f（x）的圖象上一點，P關(guān)于（3，

3

4

）的對稱點是Q（x₀，y₀），
因

x+x0 2 =3 y+y0 2 = 3 4

?

x=6-x0 y= 3 2 -y0

，又y=ln(

x-2

x-4

)+

x

4

所以

3

2

-y0=ln(

6-x0-2

6-x0-4

)+

6-x0

4

?-y0=ln(

4-x0

2-x0

)-

x0

4

?y0=ln(

x0-2

x0-4

)+

x0

4

，
即點Q（x₀，y₀）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
 （III） 假設(shè)存在實a、b且[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．
若0≤b＜2，當x∈[a，b]時，f（x）≤f（0）=ln

1

2

＜0，而

b

4

≥0∴f(x)≠

b

4

．故不可能…
若4＜a≤6，當x∈[a，b]時，f（x）≥f（6）=ln2+

3

2

＞

3

2

，而

a

4

≤

3

2

∴f（x）≠

a

4

．故不可能…．
若a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（6，+∞），知a，b是f（x）=

x

4

的兩個解．而f（x）-

x

4

=ln

x-2

x-4

=0無解．故此時f的取值范f（x）圍是不可能是[

a

4

，

b

4

]．
綜上所述，假設(shè)錯誤，滿足條件的實數(shù)a、b不存在．

點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0、考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，對稱性問題的處理方法；注意題目中所應(yīng)用的函數(shù)的思想，分類討論的思想，函數(shù)的值域問題，利用函數(shù)的單調(diào)性驗證方程解的情況．