Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列，且a₁-a₃=3，
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求S_n，并求滿足S_n≤2的n的值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列，且a₁-a₃=3，可得2S₃=S₁+S₂即$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a₁（2+q），${a}_{1}（1-{q}^{2}）$=3，解出即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的前n項和公式，并對n分類討論即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵S₁，S₃，S₂成等差數(shù)列，且a₁-a₃=3，
∴2S₃=S₁+S₂即$2{a}_{1}（1+q+{q}^{2}）$=a₁（2+q），${a}_{1}（1-{q}^{2}）$=3，
解得a₁=4，q=-$\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n}=4×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（II）S_n=$\frac{4[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{8}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$．，
當(dāng)n為奇數(shù)時不滿足，
當(dāng)n為偶數(shù)時，S_n=$\frac{8}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$=$\frac{8}{3}$$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$≤2，
解得n=2．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其的前n項和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．