Question

（2009•昆明模擬）已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點．設直線l與拋物線交于A、B兩點，與拋物線的準線交于M點，

MF

=λ

FB

，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直線l的斜率；
（II）若點A、B在x軸上的射影分別為A₁、B₁，且|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差數(shù)列，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）先確定p=λ（x₂-

p

2

），進而求出B的坐標，即可求直線l的斜率；
（II）直線方程代入拋物線方程，求得A₁、B₁的橫坐標，根據(jù)|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差數(shù)列，可得|

B1F

|+2|

A1F

|=2|

OF

|，從而可得x₂-2x₁=

p

2

，由此可求λ的值．

解答：解：依題意設拋物線方程為y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的斜率為k，k＞0，M的縱坐標為y₀，
則F（

p

2

，0），準線方程為x=-

p

2

，直線l的方程為y=k（x-

p

2

），M（-

p

2

，y₀），y₂＞0
因為

MF

=λ

FB

，所以（p，-y₀）=λ（x₂-

p

2

，y₀），故p=λ（x₂-

p

2

）
（I）若λ=1，由p=λ（x₂-

p

2

），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂=

3p

2

，y₂=

3

p，
故點B的坐標為（

3p

2

，

3

p）
所以直線l的斜率k=

3 p-0

3p 2 - p 2

=

3

   （5分）
（II）聯(lián)立y²=2px，y=k（x-

p

2

），消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+

k2p2

4

=0，則x₁x₂=

p2

4

又x2=

p

λ

+

p

2

 （7分）
故x1=

p2

4x2

=

λp

2λ+4

  （9分）
因為|

B1F

|，|

OF

|，2|

A1F

|成等差數(shù)列，
所以|

B1F

|+2|

A1F

|=2|

OF

|，
故（x₂-

p

2

）+2（

p

2

-x₁）=p，即x₂-2x₁=

p

2

將x2=

p

λ

+

p

2

，x1=

λp

2λ+4

代入上式得

1

λ

=

λ

λ+2

因為λ＞0，所以λ=2．   （12分）

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．