Question

設函數(shù)f（x）=ax+

1

x+b

(a，b∈Z)，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)y=f（x）的圖象是一個中心對稱圖形，求其對稱中心的坐標；
（3）設直線l是過曲線y=f（x）上一點P（x₀，y₀）的切線，求直線l與直線x=1和直線y=x所圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析：（I）先根據(jù)求導公式和法則求出導數(shù)，再結合條件和導數(shù)的幾何意義，列出方程組進行求解，利用條件進行取舍；
（Ⅱ）由函數(shù)y₁=x，y2=

1

x

都是奇函數(shù)，可得它們的和函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形．再由圖象平移法則，得到函數(shù)f（x）的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形．
（Ⅲ）先在曲線上任取一點（x0，x0+

1

x0-1

），利用導數(shù)的幾何意義和點斜式求出過此點的切線方程，令x=1得切線與直線x=1交點，令y=x得切線與直線y=x交點．再由利用三角形的面積公式求得所圍三角形的面積為定值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，f′（x）=a-

1

(x-b)2

，
∵在點（2，f（2））處的切線方程為y=3，
∴

a- 1 (2-b)2 =0 2a+ 1 2+b =3

，解得

a=1 b=-1

或

a= 9 4 b=- 8 3

，
∵a、b∈Z，∴

a=1 b=-1

，
則f（x）=x+

1

x-1

，
（Ⅱ）證明：由函數(shù)y₁=x，y2=

1

x

都是奇函數(shù)得，函數(shù)g（x）=x+

1

x

也是奇函數(shù)，
則g（x）的圖象是以原點為中心的中心對稱圖形，
∵f（x）=x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1，
∴將函數(shù)g（x）的圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位，即得到函數(shù)f（x）的圖象，
∴函數(shù)f（x）的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形，
（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點（x0，x0+

1

x0-1

），則由（I）得，f′(x0)=1-

1

(x0+1)2

，
∴過此點的切線方程為：y-（x0+

1

x0-1

）=（1-

1

(x0+1)2

）（x-x0），
令x=1得y=

x0+1

x0-1

，切線與直線x=1交點為（1，

x0+1

x0-1

），
令y=x得y=2x₀-1，切線與直線y=x交點為（2x₀-1，2x₀-1）．
∵直線x=1與直線y=x的交點為（1，1）．
∴所圍三角形的面積為

1

2

|

x0+1

x0-1

-1||2x₀-1-1|=

1

2

|

2

x0-1

|||2x0-2|=2，
故所圍三角形的面積為定值2．

點評：本題主要考查直線的斜率、導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、函數(shù)解析式的求解及待定系數(shù)法等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．