Question

【題目】如下圖，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E、F分別是BC、CC1的中點.

（1）證明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若直線A1C與平面A1ABB1所成的角為45°，求三棱錐F－AEC的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

因為三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1，

又E是正三角形ABC的邊BC的中點，所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

（2）解：設(shè)AB的中點為D，連接A1D，CD，因為△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1，因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D為直線A1C與平面A1ABB1所成的角，由題設(shè)知∠CA1D＝45°，

所以A1D＝CD＝ AB＝ ，在Rt△AA1D中，AA1＝ = = ，所以FC＝ AA1＝ ，故三棱錐F－AEC的體積V＝

S△AEC×FC＝ .

【解析】(1)根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)得出AE⊥BB1，再利用等邊三角形的性質(zhì)得出AE⊥BC再借助面面垂直的判定定理即可得證。(2)根據(jù)已知條件計算出直三棱柱的棱長再借助三棱錐的體積公式代入數(shù)值求出結(jié)果即可。