Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，D為AB的中點．
（I）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（II）求平面ABC和平面C₁AB夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設BC₁與CB₁交于點O，連接OD，利用三角形中位線性質，證明OD∥AC₁，利用線面平行的判定，可得AC₁∥平面CDB₁．
（II）過C作CE⊥AB于E，連接C₁E，證明∠CEC₁為二面角C₁-AB-C的平面角，從而可求二面角C₁-AB-C的余弦值．
解答：（I）證明：設BC₁與CB₁交于點O，則O為BC₁的中點．

在△ABC₁中，連接OD，∵D，O分別為AB，BC₁的中點，∴OD為△ABC₁的中位線，∴OD∥AC₁，
又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．…（6分）
（II）解：過C作CE⊥AB于E，連接C₁E．
∵CC₁⊥底面ABC，∴C₁E⊥AB．
∴∠CEC₁為二面角C₁-AB-C的平面角．
在△ABC中，∵AC=3，BC=4，AB=5，∴
在直角△CC₁E中，tan∠C₁EC=，∴cos∠C₁EC=
∴二面角C₁-AB-C的余弦值為．…（12分）
點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面平行的判定，正確作出面面角，屬于中檔題．