Question

10．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：
（1）f（x）=$\frac{1}{3-2x-{x}^{2}}$；
（2）f（x）=x-2$\sqrt{x}$；
（3）f（x）=$\frac{1+2x}{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）可以看出f（x）為復(fù)合函數(shù)，而二次函數(shù)t=3-2x-x²在f（x）定義域上的單調(diào)性可以判斷，從而根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出f（x）的單調(diào)性；
（2）可根據(jù)單調(diào)性的定義判斷，定義域上設(shè)任意的x₁＞x₂，然后作差，進(jìn)行分子有理化和提取公因式便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}）$，從而可以看出分成x₁，x₂∈（0，1），和x₁，x₂∈[1，+∞）兩種情況來判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）可求導(dǎo)數(shù)，然后解f′（x）≥0，便可得出f（x）的遞增區(qū)間，進(jìn)而得出其單調(diào)減區(qū)間．

解答 解：（1）設(shè)3-2x-x²=t，$\frac{1}{t}$為減函數(shù)；
令3-2x-x²=0，得x=-3，或1；
函數(shù)t=3-2x-x²的對(duì)稱軸為x=-1；
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得：
f（x）在（-∞，-3），（-3，-1]上單調(diào)遞減，在（-1，1），（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）設(shè)x₁＞x₂≥0，則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-2\sqrt{{x}_{1}}-{x}_{2}+2\sqrt{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）+2（\sqrt{{x}_{2}}-\sqrt{{x}_{1}}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
①x₁，x₂∈（0，1）時(shí)，$0＜\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}＜2$；
∴$1-\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[0，1）上單調(diào)遞減；
②x₁，x₂∈[1，+∞）時(shí)，$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}＞2$；
∴$1-\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）$f′（x）=\frac{-2{x}^{2}-2x}{{x}^{4}}=-\frac{2（x+1）}{{x}^{3}}$；
解f′（x）≥0得，-1≤x＜0；
∴x∈（-∞，-1）∪（0，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞增，在（-∞，-1），（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 考查反比例函數(shù)、復(fù)合函數(shù)，及二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間的求法，根據(jù)單調(diào)性定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．