Question

在△ABC中，AB=

3

，BC=2，A=

π

2

，如果不等式|

BA

-t

BC

|≥|

AC

|恒成立，試求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：利用向量的知識將已知不等式進行轉化，建立關于t的不等式，解不等式即可求出t的取值范圍．

解答：解：∵在△ABC中，AB=

3

，BC=2，A=

π

2

，∴AC=

BC2-AB2

=1，
∴∠ABC=

π

6

，即＜

BA

，

BC

＞=

π

6

，
故

BA

•

BC

=|

BA

||

BC

|cos

π

6

=

3

×2×

3

2

=3．
由|

BA

-t

BC

|≥|

AC

|，得|

BA

-t

BC

|2≥|

AC

|2，
即

BA

2-2t

BA

•

BC

+t2

BC

2≥

AC

2，
∴3-6t+4t²≥1，即2t²-3t+1≥0，解得t≥1或t≤

1

2

，
∴實數(shù)t的取值范圍是：（-∞，

1

2

]∪[1，+∞）．

點評：本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，利用數(shù)量積的定義將向量轉化為長度問題是解決本題的關鍵．