Question

7．已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a，側(cè)棱長為2a，點P，Q分別在BD和SC上，并且BP：PD=1：3，PQ∥平面SAD，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 過P作PM∥AD，交CD于M，連結(jié)QM，分別求出PM、QM，利用余弦定理求出cos∠ADS，由此利用余弦定理能求出線段PQ的長．

解答 解：如圖，過P作PM∥AD，交CD于M，連結(jié)QM，
∵正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a，側(cè)棱長為2a，點P，Q分別在BD和SC上，
BP：PD=1：3，PQ∥平面SAD，
∴MQ∥SD，
∴PM=$\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}a$，
∴QM∥SD，∴QM=$\frac{1}{4}SD$=$\frac{1}{2}a$，
∵SD∥QM，AD∥MP，∴∠PMQ=∠ADS，
∵cos∠ADS=$\frac{A{D}^{2}+S{D}^{2}-S{A}^{2}}{2×AD×SD}$=$\frac{{a}^{2}+4{a}^{2}-4{a}^{2}}{2×a×2a}$=$\frac{1}{4}$，
PQ²=PM²+QM²-2PM•QM•cos∠PMQ=$\frac{9}{16}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-2×\frac{3}{4}{a}^{\;}$×$\frac{1}{2}a$×$\frac{1}{4}$=$\frac{10{a}^{2}}{16}$，
∴PQ=$\frac{\sqrt{10}}{4}a$．
∴線段PQ的長為$\frac{\sqrt{10}}{4}a$．

點評 本題考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．