Question

（本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.

     已知函數(shù)的反函數(shù).定義：若對(duì)給定的實(shí)數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“和性質(zhì)”；若函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“積性質(zhì)”.

（1）       判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；

（2）       求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；

（3）       設(shè)函數(shù)對(duì)任何，滿足“積性質(zhì)”.求的表達(dá)式.

Answer 1

（1）函數(shù)的反函數(shù)是，

    ，

而 ，其反函數(shù)為

故函數(shù)不滿足“1和性質(zhì)”              …… 4分

(2)設(shè)函數(shù)滿足“2和性質(zhì)”，.

,          …… 6分

  而，得反函數(shù)， …… 8分

  由“2和性質(zhì)”定義可知對(duì)恒成立.

  即所求一次函數(shù).     ……10分

（3）設(shè)且點(diǎn)圖像上，則在函數(shù)

圖像上，

故    可得，         ……12分

令，.   ……14分

綜上所述，此時(shí)其反函數(shù)是，

而故互為反函數(shù).       ……16分

解析:

⑴分別求出的反函數(shù)和，然后對(duì)照，如果解析式相同，就滿足“1和性質(zhì)”，否則，不滿足；

⑵知道函數(shù)的類型為一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，因?yàn)闈M足“2和性質(zhì)”，建立方程，求出參數(shù)的值；

⑶設(shè)出函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)A，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，A關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)在其反函數(shù)圖象上，進(jìn)行計(jì)算和代換.