設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)F(x)=f(x)+ln有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2且x1<x2,求證F(x2)>
【答案】分析:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,+∞),=,令g(x)=2x2+2x+a,則△=4-8a.由根的判斷式進(jìn)行分類討論,能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)由F′(x)=f′(x),知函數(shù)F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),0<a<,0<<1,由此推導(dǎo)出x2=∈(-,0),且g(x2)=0,即a=-(2+2x2),F(xiàn)(x2)=-()ln(1+x2)+ln,構(gòu)造函數(shù)h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)+ln,能夠證明F(x2)>
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,+∞),(1分)
=,(x>-1),(2分)
令g(x)=2x2+2x+a,則△=4-8a.
①當(dāng)△<0,即a時(shí),g(x)>0,從而f′(x)>0,
故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;(3分)
②當(dāng)△=0,即a=時(shí),g(x)≥0,此時(shí)f′(x)≥0,此時(shí)f′(x)在f′(x)=0的左右兩側(cè)不變號(hào),
故函數(shù)f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增; (4分)
③當(dāng)△>0,即a<時(shí),g(x)=0的兩個(gè)根為,,
當(dāng),即a≤0時(shí),x1≤-1,當(dāng)0<a<時(shí),x1>-1.
故當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,)單調(diào)遞減,在(,+∞)單調(diào)遞增;
當(dāng)0<a<時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,),(,+∞)單調(diào)遞增,
在(,)單調(diào)遞減.(7分)
(Ⅱ)∵F(x)=f(x)+ln,∴F′(x)=f′(x),
∴當(dāng)函數(shù)F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)0<a<,0<<1,
故此時(shí)x2=∈(-,0),且g(x2)=0,即a=-(2+2x2),(9分)
∴F(x2)=+aln(1+x2)+ln
=-()ln(1+x2)+ln,
設(shè)h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)+ln,其中-,(10分)
則h′(x)=2x-2(2x+1)ln(1+x)-2x=-2(2x+1)ln(1+x),
由于-時(shí),h′(x)>0,
故函數(shù)h(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,
故h(x).h(-)=
∴F(x2)=h(x2)>.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查不等式的證明,綜合性強(qiáng),難度大,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.(注:(ln(x+1))′=
1x+1
).
(1)討論f(x)的單調(diào)性.
(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范圍.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)當(dāng)m=2時(shí),若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+aln(x+1),其中a≠0.
(1)若a=-6,求f(x)在[0,3]上的最值;
(2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:不等式ln
n+1
n
n-1
n3
(n∈N*)恒成立.

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