【答案】
分析:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,+∞),
=
,令g(x)=2x
2+2x+a,則△=4-8a.由根的判斷式進(jìn)行分類討論,能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅱ)由F′(x)=f′(x),知函數(shù)F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),0<a<
,0<
<1,由此推導(dǎo)出x
2=
∈(-
,0),且g(x
2)=0,即a=-(2
+2x
2),F(xiàn)(x
2)=
-(
)ln(1+x
2)+ln
,構(gòu)造函數(shù)h(x)=x
2-(2x
2+2x)ln(1+x)+ln
,能夠證明F(x
2)>
.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,+∞),(1分)
=
,(x>-1),(2分)
令g(x)=2x
2+2x+a,則△=4-8a.
①當(dāng)△<0,即a
時(shí),g(x)>0,從而f′(x)>0,
故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;(3分)
②當(dāng)△=0,即a=
時(shí),g(x)≥0,此時(shí)f′(x)≥0,此時(shí)f′(x)在f′(x)=0的左右兩側(cè)不變號(hào),
故函數(shù)f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增; (4分)
③當(dāng)△>0,即a<
時(shí),g(x)=0的兩個(gè)根為
,
,
當(dāng)
,即a≤0時(shí),x
1≤-1,當(dāng)0<a<
時(shí),x
1>-1.
故當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,
)單調(diào)遞減,在(
,+∞)單調(diào)遞增;
當(dāng)0<a<
時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,
),(
,+∞)單調(diào)遞增,
在(
,
)單調(diào)遞減.(7分)
(Ⅱ)∵F(x)=f(x)+ln
,∴F′(x)=f′(x),
∴當(dāng)函數(shù)F(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)0<a<
,0<
<1,
故此時(shí)x
2=
∈(-
,0),且g(x
2)=0,即a=-(2
+2x
2),(9分)
∴F(x
2)=
+aln(1+x
2)+ln
=
-(
)ln(1+x
2)+ln
,
設(shè)h(x)=x
2-(2x
2+2x)ln(1+x)+ln
,其中-
,(10分)
則h′(x)=2x-2(2x+1)ln(1+x)-2x=-2(2x+1)ln(1+x),
由于-
時(shí),h′(x)>0,
故函數(shù)h(x)在(-
,0)上單調(diào)遞增,
故h(x).h(-
)=
.
∴F(x
2)=h(x
2)>
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法,考查不等式的證明,綜合性強(qiáng),難度大,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.