Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0處取得極大值2，其圖象在x=1處的切線與直線x-3y+2=0垂直．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈（-∞，$\sqrt{3}$]時，不等式xf′（x）≤m-6x²+9x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，列出方程組，解出即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈（-∞，$\sqrt{3}$]時，m≥3x³-9x恒成立，設(shè)g（x）=3x³-9x，通過求導(dǎo)得到函數(shù)g（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2\\ f'（1）=-3\\ f'（0）=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=2}\\{3+2a=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
于是f（x）=x³-3x²+2．
（2）xf′（x）≤m-6x²+9x
?x（3x²-6x）≤m-6x²+9x?m≥3x³-9x，
當(dāng)x∈（-∞，$\sqrt{3}$]時，xf′（x）≤m-6x²+9x恒成立，
?當(dāng)x∈（-∞，$\sqrt{3}$]時，m≥3x³-9x恒成立，
設(shè)g（x）=3x³-9x，則g′（x）=9（x+1）（x-1），
g（x）在（-∞，-1）及（1，$\sqrt{3}$）上是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，
從而g（x）在x=-1處取得極大值g（-1）=6，
又g（$\sqrt{3}$）=0，所以g（x）的最大值是6，故m≥6．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．