Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁=8，a₂=0，a₃=-7，且數(shù)列{a_n+1-a_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列．
（1）設(shè)c_n=a_n+1-a_n，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求S_n=|c₁|+|c₂|+…+|c_n|；
（3）數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)，并求出該項(xiàng)的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，要求通項(xiàng)公式即要知道首項(xiàng)和公差，先根據(jù)c₁=a₂-a₁得到此數(shù)列的首項(xiàng)，再根據(jù)（a₃-a₂）-（a₂-a₁）求出數(shù)列的公差，寫出通項(xiàng)公式即可；
（2）根據(jù)（1）求得的數(shù)列{c_n}通項(xiàng)公式得到n小于等于9時的每一項(xiàng)都小于0，先求出前9項(xiàng)的絕對值的和，當(dāng)n大于9時的每一項(xiàng)都大于0，且為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列共n-9項(xiàng)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出S_n即可；
（3）根據(jù)a_n-a_n-1=（n-1）-9=n-10，得到a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡后，得到一個關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法根據(jù)n取正整數(shù)得到數(shù)列{a_n}的最小項(xiàng)及該項(xiàng)的值．
解答：解：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，
首項(xiàng)c₁=a₂-a₁=-8，公差d=（-7-0）-（0-8）=1，
所以c_n=-8+（n-1）•1=n-9
即c_n=n-9，n∈N^*；
（Ⅱ）由c_n=n-9＞0得n＞9，
所以，當(dāng)n≤9時，c_n＜0，S_n=（-c₁）+（-c₂）+…+（-c_n）
=，所以S₉=36；
當(dāng)n＞9時，c_n＞0，S_n=S₉+c₁₀+…+c_n
=；
（Ⅲ）由（1）得：a_n-a_n-1=n-10（n∈N，n＞1），
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-10）+（n-11）+…+（-8）+8==．
當(dāng)n=9或10時，第9及第10項(xiàng)的值最小為-28．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式化簡求值，會利用二次函數(shù)求最值的方法求數(shù)列的最值，是一道中檔題．