Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x-y+3=0與圓O：x²+y²=r²（r＞0）相交于A，B兩點(diǎn)．若

OA

+2

OB

=

3

OC

，且點(diǎn)C也在圓O上，則圓O的半徑r=

3

2

．

Answer 1

分析：聯(lián)立直線與圓的方程即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用已知向量關(guān)系式，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，代入圓的方程又得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)的關(guān)系式，聯(lián)立即可解出．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立x-y+3=0與圓O：x²+y²=r²（r＞0）
，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程2x²+6x+9-r²=0，
∵直線l與圓O相較于A、B兩點(diǎn)，則△=36-8（9-r²）＞0．（*）
∴x₁+x₂=-3，x₁•x₂=

9-r2

2

．
設(shè)點(diǎn)C（x₀，y₀）．
∵

OA

+2

OB

=

3

OC

，且點(diǎn)C也在圓O上，
（x₁，y₁，）+2（x₂，y₂）=

3

（x₀，y₀）．
又∵y₁=x₁+3，y₂=x₂+3．
∴可得：

x0= x1+2x2 3 y0= x1+2x2+9 3

代入圓O的方程得（

x1+2x2

3

）²+（

x1+2x2+9

3

）²=r²，
化為（x₁+2x₂）²+（x₁+2x₂+9）²=3r²，
再與x₁+x₂=-3，x₁•x₂=

9-r2

2

聯(lián)立
消去x₁，x₂化為r²=18，滿足（*）．
故答案為：3

2

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線與圓相交問題變得解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系、向量相等、方程的思想方法是解題的關(guān)鍵．