設(shè)F(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,且
MN
=2
MP
,
PM
PF
=0;
(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時,求點(diǎn)N的軌跡C的方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上除去原點(diǎn)外的不同三點(diǎn),且
|AF|
|BF|
,
|DF|
成等差數(shù)列,當(dāng)線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時,求點(diǎn)B的坐標(biāo).
分析:(1)設(shè)出N的坐標(biāo),確定
PM
,
PF
的坐標(biāo),利用
PM
PF
=0,可得點(diǎn)N的軌跡C的方程;
(2)先確定線段AD的垂直平分線的斜率、AD的斜率,可得方程,利用點(diǎn)B在拋物線上,即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)N(x,y),由
MN
=2
MP
,得點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn),∴P(0,
y
2
),M(-x,0),
PM
=(-x,-
y
2
),
PF
=(1,-
y
2
).
PM
PF
=-x+
y2
4
=0,得y2=4x.
即點(diǎn)N的軌跡方程為y2=4x.
(2)由拋物線的定義,知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|DF|=x3+1,
|AF|
,
|BF|
|DF|
成等差數(shù)列,
∴2x2+2=x1+1+x3+1,即x2=
x1+x3
2

∵線段AD的中點(diǎn)為(
x1+x3
2
,
y1+y3
2
),且線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0),
∴線段AD的垂直平分線的斜率為k=
y1+y3
2
x1+x3
2
-3

又kAD=
y3-y1
x3-x1
,∴•
y3-y1
x3-x1
y1+y3
x1+x3-6
=-1,
4x3-4x1
(x32-x12)-6(x3-x1)
=-1.
∵x1≠x3,∴x1+x3=2,又x2=
x1+x3
2
,∴x2=1.
∵點(diǎn)B在拋物線上,
∴B(1,2)或(1,-2).
點(diǎn)評:本題考查軌跡方程,考查等差數(shù)列,考查向量知識的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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(2004•河西區(qū)一模)設(shè)F(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,且
MN
=2
MP
,
PM
PF

(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時,求點(diǎn)N的軌跡C的方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上的點(diǎn),且|
AF
|,|
BF
|,|
DF
|
成等差數(shù)列,當(dāng)AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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設(shè)F(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,且=2,=0;
(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時,求點(diǎn)N的軌跡C的方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上除去原點(diǎn)外的不同三點(diǎn),且,成等差數(shù)列,當(dāng)線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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設(shè)F(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,且
(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時,求點(diǎn)N的軌跡C的方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上的點(diǎn),且成等差數(shù)列,當(dāng)AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時,求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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設(shè)F(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,且

(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時,求點(diǎn)N的軌跡C的方程;

(2)設(shè)是曲線C上的點(diǎn),且成等差數(shù)列,當(dāng)AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時,求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

【解析】本試題主要是對于圓錐曲線的綜合考查。首先求解軌跡方程,利用向量作為工具表示向量的坐標(biāo),進(jìn)而達(dá)到關(guān)系式的求解。第二問中利用數(shù)列的知識和直線方程求解點(diǎn)的坐標(biāo)。

 

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