Question

【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為該橢圓的一條垂直于軸的動(dòng)弦，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為.

（1）證明：點(diǎn)恒在橢圓上.

（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意求得的坐標(biāo)，設(shè)出的坐標(biāo)，求得直線(xiàn)的方程，由此求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程的左邊，化簡(jiǎn)后得到，由此判斷出恒在橢圓上.

（2）首先判斷直線(xiàn)的斜率是否存在.然后當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，判斷出的位置并設(shè)出的坐標(biāo).聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程，化簡(jiǎn)后利用判別式等于零求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)以及，利用列方程，結(jié)合等式恒成立求得的坐標(biāo).

（1）證明：由題意知，設(shè)，則.

直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立可得，，即的坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>，

所以點(diǎn)恒在橢圓上.

（2）解：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，不符合題意.不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，由對(duì)稱(chēng)性可知，若平面內(nèi)存在定點(diǎn)，使得恒成立，則一定在軸上，故設(shè)，

由可得.

因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以，

所以.

又因?yàn)?/span>，所以，

即.

所以對(duì)于任意的滿(mǎn)足的恒成立，

所以解得.

故在平面內(nèi)存在定點(diǎn)，使得恒成立.