精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)線段EF的長度為1，端點E、F在邊長為2的正方形ABCD的四邊上滑動．當(dāng)E、F沿著正方形的四邊滑動一周時，EF的中點M所形成的軌跡為G，若G圍成的面積為S，則S=
 
．
分析：以A為原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標系，求出G在A角處的軌跡，從而得到G的軌跡圍成的圖形是正方形挖去四個四分之一圓周，由正方形的面積減去圓的面積得答案．
解答：解：假設(shè)正方形的拐角的點A為坐標原點（0，0），
再設(shè)點E的坐標是（x′，0），點F（0，y′），中點M（x，y）
則x=
x′
2
，y=
y′
2
，即x′=2x，y′=2y．
因為EF距離為1，即（x′）2+（y′）2=1
把x′=2x，y′=2y代入之后，得到x2+y2=
1
4
．
∵x′在0到1，∴畫出圖象只有一段圓�。�
這段圓弧位于圓心在（0，0），半徑為
1
2
的圓上，而且是圓周長的
1
4
．
∴四部分的圓弧加起來就是整個圓了．
面積為π×(
1
2
)2=
π
4
．
∴G圍成的面積為S等于正方形的面積減去
π
4
．即為4-
π
4
．
故答案為：4-
π
4
．
點評：本題考查了軌跡方程，考查了封閉曲線面積的求法，關(guān)鍵是求出正方形四個角處的G的軌跡，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）（如圖1）在邊長為4的正方形ABCD中，E、F分別是邊AB，BC上的點，且AE=BF=1，過線段EF上的點P分別作DC，AD的垂線，垂足為M，N，延長NP交BC于Q，試寫出矩形PMDN的面積y與FQ的長x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出y的最大值．
（2）（如圖2）在邊長為4的正方形ABCD中，E、F分別是邊AB，BC上的點，且AE=BF=x，設(shè)多邊形的面積為y，當(dāng)x為何值時，多邊形AEFCD的面積最�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系練習(xí)卷（二） 題型：解答題

如圖，正三角形ABC的邊長為2，D、E、F分別為各邊的中點將△ABC沿DE、EF、DF折疊，使A、B、C三點重合，構(gòu)成三棱錐A— DEF  ．

(I)求平面ADE與底面DEF所成二面角的余弦值

(Ⅱ)設(shè)點M、N分別在AD、EF上， (λ＞O，λ為變量)

①當(dāng)λ為何值時，MN為異面直線AD與EF的公垂線段? 請證明你的結(jié)論②設(shè)異面直線MN與AE所成的角為a，異面直線MN與DF所成的角為β，試求a+β 的值

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（天津卷解析版） 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆浙江省第一學(xué)期高二年級期中理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知矩形的長為２，寬為１，邊分別在ｘ軸、ｙ軸的正半軸上，點與坐標原點重合（如圖4所示），將矩形折疊，使點落在線段上.

（Ⅰ）若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；

（Ⅱ）設(shè)折痕線段為EF，記， 求的解析式.

 

 

 

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