Question

18．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)A（$\sqrt{14}$，$\sqrt{5}$），且點(diǎn)A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為$\frac{4}{3}$，求此雙曲線方程．

Answer 1

分析 由題意，雙曲線的漸近線的方程為bx±ay=0，利用點(diǎn)A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為$\frac{4}{3}$，求出a，b的關(guān)系，再利用雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）過(guò)點(diǎn)A（$\sqrt{14}$，$\sqrt{5}$），求出a，b，即可求此雙曲線方程．

解答 解：由題意，雙曲線的漸近線的方程為bx±ay=0，
∵點(diǎn)A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{14^{2}-5{a}^{2}}{^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴a=$\sqrt{2}b$，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∵過(guò)點(diǎn)A（$\sqrt{14}$，$\sqrt{5}$），
∴$\frac{14}{2^{2}}-\frac{5}{^{2}}$=1，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴a=2，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．