Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，離心率是

2

，兩準(zhǔn)線間的距離大于

2

，且雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P到A（2，0）的最近距離為1．
（Ⅰ）求證：該雙曲線的焦點(diǎn)不在y軸上；
（Ⅱ）求雙曲線的方程；
（Ⅲ）如果斜率為k的直線L過(guò)點(diǎn)M（0，3），與該雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若

AM

=λ

MB

(λ＞0)，試用l表示k²，并求當(dāng)λ∈[

1

2

，2]時(shí)，k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）反證法：假設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，因?yàn)殡p曲線上任一點(diǎn)到點(diǎn)A（2，0）的距離大于點(diǎn)A到漸近線的距離，
而點(diǎn)A到漸近線的距離大于1，這與“雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P到A（2，0）的最近距離為1”矛盾，故假設(shè)不對(duì)．
（2）雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)出方程，待定系數(shù)法求方程．
（3）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，化為一元二次方程，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系、2個(gè)向量關(guān)系，用λ表示k²，
由λ范圍，求k的取值范圍．

解答：證明：（Ⅰ）設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，
由

c a = 2 a2+b2=c2

，得c=

2

a，a=b，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x．
若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，
則雙曲線上任一點(diǎn)到點(diǎn)A（2，0）的距離大于點(diǎn)A到漸近線的距離，
而點(diǎn)A到漸近線的距離d=

2

＞1，
這與“雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P到A（2，0）的最近距離為1”矛盾．
所以雙曲線的焦點(diǎn)不在y軸上．
方法二：聯(lián)立雙曲線方程y²-x²=a²與圓（x-2）²+y²=1，證明方程組無(wú)解．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)雙曲線的方程為x²-y²=a²，P（x₀，y₀），則x₀²-y₀²=a²，
|PA|²=（x₀-2）²+y₀²=（x₀-2）²+x₀²-a²=2（x₀-1）²+2-a²，
又由

2a2

c

＞

2

得a＞1
又當(dāng)x₀=a時(shí)，|PA|²有最小值，即2（a-1）²+2-a²=（a-2）²=1，
∴a=3，所以，雙曲線的方程為x²-y²=9．
解（Ⅲ）：設(shè)直線l的方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

AM

=λ

MB

(λ＞0)，∴（-x₁，3-y₁）=λ（x₂，y₂-3），∴x₁=-λx₂（x₁x₂＜0）①，
由

y=kx+3 x2-y2=9

消去y得，（1-k²）x²-6kx-18=0，
x₁+x₂=

6k

1-k2

②，x₁x₂=-

18

1-k2

＜0   ③
將①分別代入②、③
得，（1-λ）x₂=

6k

1-k2

④λx₂²=

18

1-k2

⑤
④²÷⑤并整理得，k2=1-

2λ

λ2+1

（l＞0）
令f（l）=

2λ

λ2+1

，則f′(λ)=

2(λ2+1)-2λ•2λ

(λ2+1)2

=

-2λ2+2

(λ2+1)2

令f′（λ）=0，得 λ=1；    令f′（λ）＞0，
得0＜l＜1；令f′（λ）＜0，得l＞1
當(dāng)λ∈[

1

2

，2]時(shí)，f(

1

2

)=

4

5

，
f（1）=1，f(2)=

4

5

，∴f(λ)∈[

4

5

，1]
∴k2∈[0，

1

5

]，∴k∈[-

5

5

，

5

5

]．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用．