已知動圓P(圓心為點(diǎn)P)過定點(diǎn)A(1,0),且與直線x=-1相切,記動點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)P的直線l與曲線C相切,且與直線x=-1相交于點(diǎn)Q.試研究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)題意,點(diǎn)P到A(1,0)的距離等于點(diǎn)P到直線x=-1的距離.由此結(jié)合拋物線的定義,即可求出軌跡C的方程是
y2=4x;
(2)設(shè)直線l方程為y=kx+m,與拋物線y2=4x消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根的判別式可得km=1,由此代入所得方程解出P、Q的坐標(biāo).然后根據(jù)圖形的對稱性加以討論,得到若符合條件的M點(diǎn)存在,則點(diǎn)M的坐標(biāo)必定為(1,0),即為A點(diǎn).最后根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證,可得M的坐標(biāo)為(1,0)時,恒成立,即可得到在坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.
解答:解:(1)∵動圓P過定點(diǎn)A(1,0),且與直線x=-1相切,
∴點(diǎn)P到A(1,0)的距離等于點(diǎn)P到直線x=-1的距離.
因此,點(diǎn)P的軌跡是以A(1,0)為焦點(diǎn)、x=-1為準(zhǔn)線的拋物線
設(shè)該拋物線方程為y2=2px,可得=1,解得p=2
∴拋物線方程為y2=4x,即為所求軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線l方程為y=kx+m,(斜率不存在的直線不符合題意)
消去y得:k2x2+(2km-4)x+m2=0
由題意知k≠0,且△=(2km-4)2-4k2m2=0,化簡得km=1
設(shè)直線l與曲線C相切的切點(diǎn)P(x,y),則有
x==,y=kx+m=,所以P(,
解得Q(-1,m-k)
假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)符合條件的點(diǎn)M存在,由圖形的對稱性知點(diǎn)M在x軸上
若取k=m=1,此時P(1,2),Q(-1,0),可得以PQ為直徑的圓為x2+(y-1)2=2,
交x軸于M1(1,0),M2(-1,0)
若取k=2,m=,此時P(,1),Q(-1,-),可得以PQ為直徑的圓為(x+2+(y+2=
交x軸于M3(1,0),M4(-,0)
所以若符合條件的M點(diǎn)存在,則點(diǎn)M的坐標(biāo)必定為(1,0),即為A點(diǎn).
以下證明,M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn)
當(dāng)M的坐標(biāo)為(1,0)時,=(-1,),=(-2,m-k)
=-2(-1)+(m-k)==0
因此,恒成立
綜上所述,在坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M.
點(diǎn)評:本題給出動圓P過定點(diǎn)A(1,0)且與定直線相切,求動點(diǎn)P的軌跡方程并討論以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M的問題.著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)、軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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已知動圓P(圓心為點(diǎn)P)過定點(diǎn)A(1,0),且與直線x=-1相切,記動點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)P的直線l與曲線C相切,且與直線x=-1相交于點(diǎn)Q.試研究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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(本小題滿分14分)

已知動圓P(圓心為點(diǎn)P)過定點(diǎn)A(1,0),且與直線相切。記動點(diǎn)P的軌跡為C。

(Ⅰ)求軌跡C的方程;

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P的直線l與曲線C相切,且與直線相交于點(diǎn)Q。試研究:在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由。

 

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