Question

10．若直線a，b是兩條異面直線，其方向向量分別是（1，1，1）和（2，-3，-2），則直線a和b的公垂線的一個方向向量是（1，4，-5）．

Answer 1

分析 設直線a，b是兩條異面直線，其方向向量分別是：$\overrightarrow{m}$和$\overrightarrow{n}$，直線a和b的公垂線的一個方向向量是$\overrightarrow{a}$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{m}\\ \overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{m}=0\\ \overrightarrow{a}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$，進而可得答案．

解答 解：∵直線a，b是兩條異面直線，其方向向量分別是：
$\overrightarrow{m}$=（1，1，1）和$\overrightarrow{n}$=（2，-3，-2），
設直線a和b的公垂線的一個方向向量是$\overrightarrow{a}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{m}\\ \overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{m}=0\\ \overrightarrow{a}•\overrightarrow{n}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 2x-3y-2z=0\end{array}\right.$，
令x=1，則$\overrightarrow{a}$=（1，4，-5），
故答案為：（1，4，-5）
答案不唯一（λ，4λ，-5λ），λ≠0均滿足條件．

點評 本題考查的知識點是直線的方向向量，向量垂直的充要條件，難度中檔．