Question

已知函數(shù)y＝x＋有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在(0，]上為減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)．

(1)如果函數(shù)y＝x＋在(0，4]上是減函數(shù)．在[4，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)常數(shù)b的值；

(2)設(shè)常數(shù)c∈[1，4]，求函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[1，2]的最大值和最小值；

(3)當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，研究函數(shù)y(x)＝xⁿ＋(c＞0)的單調(diào)性，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由函數(shù)y＝x＋的性質(zhì)知：y＝x＋在[0，2b]上是減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)，∴＝4，即2b＝16＝24，∴b＝4． 　　(2)∵c∈[1、4]　∴∈[1、2]． 　　又∵f(x)＝x＋在(0，]上是減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)．∴在x∈[1，2]上，當(dāng)x＝c時(shí)，函數(shù)取得最小值2．又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋　f(2)－f(1)＝1－． 　　當(dāng)∈[1，2)時(shí)，f(2)－f(1)＞0，f(2)＞f(1) 　　此時(shí)f(x)的最大值為f(2)＝2＋． 　　當(dāng)c＝2時(shí)f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)． 　　此時(shí)f(x)的最大值為f(2)＝f(1)＝3． 　　當(dāng)x∈(2，4]時(shí)，f(2)－f(1)＜0，f(2)＜f(1)，此時(shí)f(x)的最大值為f(1)＝1＋c． 　　(3)g′(x)＝nxn－1－ 　　令g′(x)＝0，得x2n＝c，∴x＝±． 　　又∵x≠0，列表分析，如下： 　　于是函數(shù)y(x)在(0，]上是減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)． 　　當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，g(x)＝xn＋在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函數(shù)，于是g(x)在(－∞，－]上是增函數(shù)，在[－，0]上是減函數(shù)； 　　當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí)，g(x)＝xn＋在(－∞，0)∪(0，＋∞)是偶函數(shù)，于是g(x)在(－∞，－]上是減函數(shù)，在[－，0]上是增函數(shù)． 　　思路分析：本題設(shè)計(jì)新穎，層層遞進(jìn)，是演繹推理的典型應(yīng)用．要正確理解題意根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法進(jìn)行證明，推理，尋找題目中的大前提和小前提．