Question

已知函數y=f(x)是R上的奇函數，當x≤0時，f(x)=-.

（1）判斷并證明y=f(x)在(-∞,0)上的單調性；

（2）求y=f(x)的值域；

（3）求不等式f(x)＞的解集.

Answer 1

解：（1）設 x₁＜x₂＜0，則

∵f(x₁)-f(x₂)=- ==，

∴f(x₁)＜f(x₂)，即y=f(x)在(-∞,0)上是增函數.

（2）∵0＜=≤，

∴當x≤0時，

f(x)=-∈(-,0]；

當x＞0時，f(x)=-+1∈(0,).

綜上得y=f(x)的值域為(-,).

（3）∵f(x)=(-,)，

又∵f(x)＞，

∴f(x)∈(,)，此時f(x)=-(x＞0)，

令-＞，即＜3²x-6·3^x+1＞03^x＞3+2x＞log₃(3+2)，

∴不等式 f(x)＞的解集是(log₃(3+2),+∞).