Question

已知函數(shù)f（x）=xln x．若對所有x≥1都有f（x）≥ax-1，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，當(dāng)x≥1時，f（x）≥ax-1恒成立?a≤lnx+

1

x

（x≥1）恒成立，令f（x）=lnx+

1

x

，則a≤f（x）_min（x≥1），易求f（x）_min=1，從而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=xlnx，
當(dāng)x≥1時，f（x）≥ax-1恒成立?xlnx≥ax-1（x≥1）恒成立?a≤lnx+

1

x

（x≥1）恒成立，
令f（x）=lnx+

1

x

，則a≤f（x）_min（x≥1）恒成立；
∵f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴當(dāng)x≥1時，f′（x）≥0，
∴f（x）=lnx+

1

x

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=1，
∴a≤1，即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．
故答案為：（-∞，1]．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)a是關(guān)鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想，考查導(dǎo)數(shù)法判定函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用及運算求解能力，屬于中檔題．