Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，O是AB的中點．
（Ⅰ）若點D是CC₁中點，求證：OD∥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）若AA₁=A₁B=AC=BC=2，AA₁與平面ABC所成的角為

π

4

，求多面體A₁C₁CAB的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取BC中點E，連結OD、DE、OE，由三角形中位線定理能證明平面ODE∥平面A₁C₁B，從而得到OD∥平面A₁C₁B．
（Ⅱ）連接OA₁，多面體A₁C₁CAB的體積為

1

3

CA•CB•A1O-

1

3

•

1

2

•CA•CB•A1O．

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點E，連結OD、DE、OE，
∵DE是△BCC₁的中位線，∴DE∥BC₁，
∵OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，又AC∥A₁C₁，∴OE∥A₁C₁，
∴平面ODE∥平面A₁C₁B，
∵OD?平面ODE，∴OD∥平面A₁C₁B．
（Ⅱ）解：連接OA₁，
∵AA₁=A₁B，O是AB的中點，∴A₁O⊥AB，
又平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴A₁O⊥平面ABC，
則AA₁與平面ABC所成的角為∠A₁AB=45°，
∴A₁O=

2

，AB=2

2

，
∵AC=BC=2，
∴AC⊥BC，
∴多面體A₁C₁CAB的體積為

1

3

CA•CB•A1O-

1

3

•

1

2

•CA•CB•A1O=

1

3

•2•2•

2

=

4 2

3

．

點評：本題考查直線與平面平行，考查多面體A₁C₁CAB的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．