Question

已知可行域的外接圓C與x軸交于點A₁、A₂，橢圓C₁以線段A₁A₂為長軸，離心率．
（1）求圓C及橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的右焦點為F，點P為圓C上異于A₁、A₂的動點，過原點O作直線PF的垂線交直線于點Q，判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由C：x²+y²=4，A₁（-2，0），A₂（2，0），能求出橢圓方程．
（2）設(shè)p（x，y），（x≠±2），當x=時，P（2，），，k_Op•k_PQ=-1，當時，，，由此能判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系．
解答：解：（1）：解方程組，得：y=0，x=-2，
，得：y=0，x=2，
，得：y=，x=1，
∴可行域y的三個頂點分別為：（-2，0），（2，0），（1，），
設(shè)圓的方程為：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
得到方程組：，
解得：D=0，E=0，F(xiàn)=-4，
∴圓C的方程為：x²+y²=4，
圓與X軸的交點A₁（-2，0），A₂（2，0），
設(shè)橢圓C₁的方程的方程為：
，（a＞b＞0）
則有，
∴橢圓方程為：
（2）設(shè)p（x，y），（x≠±2），
∴當x=時，P（2，），
，k_Op•k_PQ=-1，
當時，，，
∴，
∴，
∴K_OP•K_PQ=-1，故相切．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．