Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠F₁PF₂=120°，則橢圓離心率的范圍是

[

3

2

，1）

．

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓定義得到|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，再利用余弦定理得到余弦定理得cos120°=-

1

2

，求出x₁²，利用橢圓的范圍列出不等式求出離心率的范圍．

解答：解：設(shè)，P（x₁，y₁），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c＞0，
則|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得 cos120°=-

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，
解得 x₁²=

4c2-3a2

e2

．
∵x₁²∈（0，a²]，
∴0≤

4c2-3a2

e2

＜a²，
即4c²-3a²≥0．
∴e=

c

a

≥

3

2

．且e＜1
故橢圓離心率的取范圍是[

3

2

，1）．
故答案為：[

3

2

，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)P點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時(shí)∠F₁PF₂值最大，這個結(jié)論可以記住它．在做選擇題和填空題的時(shí)候直接拿來解決這一類的問題．