Question

已知圓C：x²＋(y－2)²＝5，直線l：mx－y＋1＝0.

(1)求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)；

(2)若圓C與直線相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

 (1)證明：法一：直線系l：mx－y＋1＝0恒過定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓C：x²＋(y－2)²＝5內(nèi)部，所以對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．--------3分

法二：直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去y得(m²＋1)x²－2mx－4＝0，

∵Δ＝4m²＋16(m²＋1)＝20m²＋16>0，∴對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

法三：圓心到直線的距離d＝＝≤1<，所以對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)．

(2)解：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x，y)，

由方程(m²＋1)x²－2mx－4＝0，得x₁＋x₂＝，-

∴x＝，由mx－y＋1＝0，得m＝，

代入x＝，得x[()²＋1]＝，

化簡(jiǎn)得x²＋(y－)²＝.     -