Question

已知：函數(shù)f（x）=x+2a（a∈R），且不等式f²（x）＜4的解集是（2，6）
（1）求：實(shí)數(shù)a的值；
（2）求：不等式的解集．
（3）解關(guān)于x的不等式：x•f（x）+m＞0（m∈R）

Answer 1

解：（1）f²（x）＜4?x²+4ax+4a²-4＜0，（2分）
∵不等式f²（x）＜4的解集是（2，6），∴．（4分）
（2）∵由上可知 f（x）=x-4，∴，（5分）∴x≤0或x＞4，
∴不等式的解集：（-∞，0]∪（4，+∞）．（7分）
（3）x•f（x）+m＞0即為x²-4x+m＞0，△=16-4m．
①當(dāng)m＞4時(shí)，△=16-4m＜0，x∈R，即此時(shí)不等式的解集為R．
②當(dāng)m=4時(shí)，△=16-4m=0，x≠2，即此時(shí)不等式的解集為{x|x≠2 }．
③當(dāng)m＜4時(shí)，或，
即此時(shí)不等式的解集為{x|x＜2-，或 }．（10分）
分析：（1）f²（x）＜4 等價(jià)于 x²+4ax+4a²-4＜0，根據(jù)不等式f²（x）＜4的解集是（2，6）可得，
解方程求得實(shí)數(shù)a的值．
（2）由上可知 f（x）=x-4，可得，從而求得x的范圍，即為所求．
（3）不等式即x²-4x+m＞0，△=16-4m，結(jié)合對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象分△大于0、等于0、小于0三種情況分別求出
不等式的解集．
點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．