Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且{a_n}、{b_n}滿足條件：S₄=4a₃﹣2，T_n=2b_n﹣2．

（Ⅰ）求公差d的值；

（Ⅱ）若對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，求a₁的取直范圍；

（Ⅲ）若a₁=﹣4，令c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和V_n．

Answer 1

考點(diǎn)：

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；數(shù)列的求和．

專題：

等差數(shù)列與等比數(shù)列．

分析：

（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可解出；

（II）利用等差前n項(xiàng)和公式化為（n﹣5）（2a₁+n+4）≥0．由于對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，可得且，解出即可．

（III）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．利用n≥2時(shí)，b_n=T_n﹣T_n﹣1，n=1時(shí)b₁=T₁，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到b_n．利用“錯(cuò)位相減法”即可得到V_n．

解答：

解：（I）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由S₄=4a₃﹣2，得，化為6d=8d﹣2，解得d=1．即公差d=1．

（II）由S_n≥S₅成立，得到，化為（n﹣5）（2a₁+n+4）≥0．

由于對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₅成立，∴且

解得．

∴．

（III）①當(dāng)a₁=﹣4時(shí)，a_n=﹣4+（n﹣1）×1=n﹣5；

②當(dāng)n=1時(shí)，b₁=T₁=2b₁﹣2，解得b₁=2；

當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n﹣T_n﹣1=2b_n﹣2﹣（2b_n﹣1﹣2）=2b_n﹣2b_n﹣1，化為b_n=2b_n﹣1．

∴數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴．

∴．

∴+0+2⁶+2×2⁷+…+（n﹣5）•2ⁿ，

﹣2⁵+2⁷+2⁸+…+（n﹣6）•2ⁿ+（n﹣5）•2ⁿ⁺¹．

兩式相減得﹣V_n=﹣8+2²+2³+…+2ⁿ+（5﹣n）•2ⁿ⁺¹=，

化為．

點(diǎn)評(píng)：

數(shù)列掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式、分類討論的思想方法、利用n≥2時(shí)b_n=T_n﹣T_n﹣1及n=1時(shí)b₁=T₁、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”是解題的關(guān)鍵．