Question

對(duì)定義在[0，1]上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f（x）稱為不等函數(shù)．
①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
已知函數(shù)g（x）=x³與h（x）=2^x-a是定義在[0，1]上的函數(shù)．
（1）試問(wèn)函數(shù)g（x）是否為不等函數(shù)？并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)h（x）是不等函數(shù)，求實(shí)數(shù)a組成的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)不等函數(shù)的定義和條件進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)h（x）是不等函數(shù)，驗(yàn)證兩個(gè)條件即可．

解答： 解：（1）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，總有g(shù)（x）=x³≥0，滿足①；
當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時(shí)，
g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）³=

x

3 1

+

x

3 2

+3

x

2 1

•x₂+3x₁•

x

2 2

≥

x

3 1

+

x

3 2

=g（x₁）+g（x₂），滿足②，
所以函數(shù)g（x）是不等函數(shù)．
（2）h（x）=2^x-a（x∈[0，1]）為增函數(shù)，h（x）≥h（0）=1-a≥0，所以a≤1．
由h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），得2x1+x2-a≥2x1-a+2x2-a，
即a≥2x1+2x2-2x1+x2=1-（2x1-1）（2x2-1）．
因?yàn)閤₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
所以0≤2x1-1≤1，0≤2x2-1≤1，x₁與x₂不同時(shí)等于1，
所以0≤（2x1-1）（2x2-1）＜1，所以0＜1-（2x1-1）（2x2-1）≤1．
當(dāng)x₁=x₂=0時(shí)，[1-（2x1-1）（2x2-1）]_max=1，
所以a≥1．
綜合上述，a∈{1}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)不等函數(shù)的定義，進(jìn)行推理是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力．