Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d，（a＞0），且函數(shù)y=f（x）-9x=0的極值點分別為1、4
（1）當(dāng)a=-2且y=f（x）過原點時，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)無極值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得1，4是y′=0的兩根，從而可得a，b，c間的關(guān)系，把a=-2代入關(guān)系式及過原點可求得a，b，c值；
（2）f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)無極值說明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)及a＞0可得f′（x）≥0恒成立，由此可得一不等式，解出即可．

解答：解：f′（x）=ax²+2bx+c，
由題意可得：1，4 是方程ax²+2bx+c-9=0的兩根，
所以b=-

5

2

a，c=4a+9．
（1）若a=-2，代入上式得：b=5，c=1，
又f（0）=0，所以d=0，
所以f（x）=-

2

3

x³+5x²+x．
（2）依題意：f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)，
所以f′（x）ax²+2bx+c≥0恒成立，
則4b²-4ac≤0，即25a²-4a（4a+9）≤0，
解得0＜a≤4．
所以a的取值范圍為（0，4]．

點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某點處取得極值，須滿足①在該點處導(dǎo)數(shù)為0；②在該點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號．