Question

如圖所示，正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA'，CC'的中點(diǎn)，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB'、DD'交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下四個(gè)命題：
①平面MENF⊥平面BDD'B'；
②當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)，四邊形MENF的面積最�。�
③四邊形MENF周長L=f（x），x∈[0，1]是單調(diào)函數(shù)；
④四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)；
以上命題中假命題的序號為（　�。�

A．①④

B．②

C．③

D．③④

Answer 1

分析：①利用面面垂直的判定定理去證明EF⊥平面BDD'B'．②四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可．③判斷周長的變化情況．④求出四棱錐的體積，進(jìn)行判斷．

解答：解：①連結(jié)BD，B'D'，則由正方體的性質(zhì)可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF⊥平面BDD'B'，所以①正確．
②連結(jié)MN，因?yàn)镋F⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時(shí)當(dāng)M為棱的中點(diǎn)時(shí)，即x=

1

2

時(shí)，此時(shí)MN長度最小，對應(yīng)四邊形MENF的面積最小．所以②正確．
③因?yàn)镋F⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，EM的長度由大變小．當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，EM的長度由小變大．所以函數(shù)L=f（x）不單調(diào)．所以③錯(cuò)誤．
④連結(jié)C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個(gè)小三棱錐，它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點(diǎn)的兩個(gè)小棱錐．因?yàn)槿�角形C'EF的面積是個(gè)常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個(gè)常數(shù)，所以四棱錐C'-MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．
所以四個(gè)命題中③假命題．
所以選C．

點(diǎn)評：本題考查空間立體幾何中的面面垂直關(guān)系以及空間幾何體的體積公式，本題巧妙的把立體幾何問題和函數(shù)進(jìn)行的有機(jī)的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，設(shè)計(jì)巧妙，對學(xué)生的解題能力要求較高．