已知a>0且a≠1,f(logax)=
a
a2-1
(x-
1
x
)

(1)求f(x);
(2)判斷f(x)的奇偶性;
(3)判斷f(x)的單調(diào)性并證明.
分析:(1)利用換元法:令t=logax⇒x=at,代入可得f(t)=
1
a2-1
(at
1
at
)
,(t∈R),從而可得函數(shù)f(x)的解析式
(2)由(1)得f(x)定義域?yàn)镽,可求函數(shù)的定義域,先證奇偶性:代入f(-x)=
1
a2-1
(
1
ax
-a
x
)=-f(x)
,從而可得函數(shù)為奇函數(shù)
(3)再證單調(diào)性:利用定義任取x1<x2,利用作差比較f(x1)-f(x2)的正負(fù),從而確當(dāng)f(x1)與f(x2)的大小,進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性
解答:解:(1)令logax=t,則x=at,得f(t)=
1
a2-1
(at
1
at
)
,4分)
所以f(x)=
1
a2-1
(ax-a-x)(6分)
(2)因?yàn)閒(x)定義域?yàn)镽,
又f(-x)=
1
a2-1
(a-x-ax)=-
1
a2-1
(ax-a-x)=-f(x),
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)(9分)
(3)任取x1<x2
則f(x2)-f(x1)=
1
a2-1
ax2-ax1)(1+a-(x1+x2))(11分)
∵x1<x2,且a>0且a≠1,1+a-(x1+x2)>0
①當(dāng)a>1時(shí),a2-1>0,ax2-ax1>0,則有f(x2)-f(x1)>0,
②當(dāng)0<a<1時(shí),a2-1<0.,ax2-ax1<0,則有f(x2)-f(x1)>0,
所以f(x)為增函數(shù)(13分)
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查了函數(shù)性質(zhì)的三點(diǎn):①利用換元法求函數(shù)的解析式,這是求函數(shù)解析式中最為重要的方法,要注意掌握,解答此類(lèi)問(wèn)題的注意點(diǎn):換元后要確定新元的范圍,從而可得所要求的函數(shù)的定義域②函數(shù)奇偶性的判斷,解題的關(guān)鍵是利用奇偶性的定義③利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(i)任設(shè)x1<x2(也可x1>x2)(ii)作差f(x1)-f(x2)(iii)定號(hào),給出結(jié)論.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a>0且a≠1,設(shè)p:函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞增,q:設(shè)函數(shù)y=
2x-2a,(x≥2a)
2a,(x<2a)
,函數(shù)y≥1恒成立,若p∧q為假,p∨q為真,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•普陀區(qū)二模)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)若關(guān)于x的方程F(x)-m=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a>0且a≠1,則使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解時(shí)的k的取值范圍為
(-∞,-1)∪(0,1)
(-∞,-1)∪(0,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)試討論函數(shù)F(x)在定義域D上的單調(diào)性;
(3)若關(guān)于x的方程F(x)-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:普陀區(qū)二模 題型:解答題

已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
1
1-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)若關(guān)于x的方程F(x)-m=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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