Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1，x=-2時都取得極值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-3，2]都有f（x）＞

c2-10

2

恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=1和x=-2代入求出a、b即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的最小值為f（1），要使不等式恒成立，既要證f（1）＞

c2-10

2

，即可求出c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，…（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)在x=1，x=-2時都取得極值，
所以1，-2是3x²+2ax+b=0的兩個根…（4分）
1-2=-

2a

3

，-2=

b

3

所以a=

3

2

，b=-6…（6分）
（Ⅱ） f′（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1）…（7分）

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	c+ 9 2		極大值c+10		極小值c- 7 2		c+2

所以f（x）在[-3，2]的最小值為c-

7

2

…（10分）
所以要使f(x)＞

c2-10

2

恒成立，則只要c-

7

2

＞

c2-10

2

即c²-2c-3＜0，解得-1＜c＜3…（12分）

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及掌握不等式的證明方法．