精英家教網(wǎng)已知橢圓E的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P（1，
3
2
）在橢圓E上．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過橢圓E的頂點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別與橢圓E交于（不同于點(diǎn)A的）兩點(diǎn)M，N．
問：直線MN是否一定經(jīng)過x軸上一定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，不是，說明理由．
分析：（I）右焦點(diǎn)為（1，0），點(diǎn)P（1，
3
2
）在橢圓E上，2a=|PF1|+|PF2|=
(1+1)2+(
3
2
)2
+
(1-1) 2+(
3
2
)2
 =4，
由此能求出橢圓方程．
（II）設(shè)直線AM方程為y=k（x+2），由
y=k(x+2)
3x2+4y2=12
，解得M(
6-8k2
3+4k2
，
12k
3+4k2
)，同理，得N（
6k2-8
3k2+4
，
-12k
3k2+4
），
若
6-8k2
3+4k2
=
6k2-8
3k2+4
，則得k2=1，即直線MN的方程為x= -
2
7
，此時(shí)過x軸上一點(diǎn)Q（-
2
7
，0），由此能導(dǎo)出直線MN過x軸上一定點(diǎn)Q（-
2
7
，0）．
解答：解：（I）∵右焦點(diǎn)為（1，0），∴c=1，左焦點(diǎn)為（-1，0），點(diǎn)P（1，
3
2
）在橢圓E上，
∴2a=|PF1|+|PF2|=
(1+1)2+(
3
2
)2
+
(1-1) 2+(
3
2
)2
 =4，
∴a=2，b=
3
，
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（II）設(shè)直線AM方程為y=k（x+2），
則有
y=k(x+2)
3x2+4y2=12
，整理，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，
解得M(
6-8k2
3+4k2
，
12k
3+4k2
)，同理，得N（
6k2-8
3k2+4
，
-12k
3k2+4
），
若
6-8k2
3+4k2
=
6k2-8
3k2+4
，則得k2=1，即直線MN的方程為
x= -
2
7
，此時(shí)過x軸上一點(diǎn)Q（-
2
7
，0）（10分）
當(dāng)k2≠1時(shí)，假設(shè)直線MN過x軸上一定點(diǎn)Q（m，0），則有
QM
∥
NQ
，
QM
=(
6-8k2
3+4k2
-m，
12k
3+4k2
)，
NQ
=(m-
6k2-8
3k2+4
，
12k
3k2+4
)，則由
QM
∥
NQ
，
解得m=-
2
7
，
所以直線MN過x軸上一定點(diǎn)Q（-
2
7
，0）（12分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且橢圓E過點(diǎn)(
2
，
2
2
)；斜率為k（k＞0）的直線l過點(diǎn)A（0，2），
n
為直線l的一個(gè)法向量，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)B滿足條件|
n
•
AB
|=|
n
|．
（1）寫出橢圓E方程，并求點(diǎn)B到直線l的距離；
（2）若橢圓E上恰好存在3個(gè)這樣的點(diǎn)B，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的方程為2x2+y2=2，過橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)，離心率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△ABO（O為原點(diǎn)）的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為l1和l2，過橢圓E的右焦點(diǎn)F作直線l，使得l⊥l2于點(diǎn)C，又l與l1交于點(diǎn)P，l與橢圓E的兩個(gè)交點(diǎn)從上到下依次為A，B（如圖）．
（1）當(dāng)直線l1的傾斜角為30°，雙曲線的焦距為8時(shí)，求橢圓的方程；
（2）設(shè)
PA
=λ1
AF
，
PB
=λ2
BF
，證明：λ1+λ2為常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•閔行區(qū)一模）已知橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1，右焦點(diǎn)為F，直線l與圓x2+y2=3相切于點(diǎn)Q，且Q在y軸的右側(cè)，設(shè)直線l交橢圓E于不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）若直線l的傾斜角為
π
4
，求直線l的方程；
（2）求證：|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|．

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同步練習(xí)冊(cè)答案