Question

6．已知一個(gè)袋內(nèi)有4只不同的紅球，6只不同的白球．
（1）從中任取4只球，紅球的只數(shù)不比白球少的取法有多少種？
（2）若取一只紅球記2分，取一只白球記1分，從中任取5只球，使總分不小于7分的取法有多少種？
（3）在（2）條件下，當(dāng)總分為8時(shí)，將抽出的球排成一排，僅有兩個(gè)紅球相鄰的排法種數(shù)是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意知本題是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，取4個(gè)紅球，沒(méi)有白球，有C₄⁴種，取3個(gè)紅球1個(gè)白球，有C₄³C₆¹種；取2個(gè)紅球2個(gè)白球，有C₄²C₆²種，根據(jù)加法原理得到結(jié)果．
（2）設(shè)出取到白球和紅球的個(gè)數(shù)，根據(jù)兩個(gè)未知數(shù)的和是5，列出方程，根據(jù)分?jǐn)?shù)不少于7，列出不等式，根據(jù)這是兩個(gè)整數(shù)，列舉出結(jié)果．
（3）總分為8分，則抽取的個(gè)數(shù)為紅球3個(gè)，白球2個(gè)，將抽出的球排成一排，僅有兩個(gè)紅球相鄰，分兩步，第一步先取球，第二步，再排，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．

解答 解：：（1）將取出4個(gè)球分成三類(lèi)情況：
①取4個(gè)紅球，沒(méi)有白球，C₄⁴種；
②取3個(gè)紅球1個(gè)白球，C₄³C₆¹種；
③取2個(gè)紅球2個(gè)白球，C₄²C₆²種，
∴C₄⁴+C₄³C₆¹+C₄²C₆²=115種，
（2）設(shè)x個(gè)紅球y個(gè)白球，$\left\{\begin{array}{l}{x+y=5，（0≤x≤4）}\\{2x+y≥7，（0≤y≤6）}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴符合題意的取法種數(shù)有C₄²C₆³+C₄³C₆²+C₄⁴C₆¹=186種
（3）總分為8分，則抽取的個(gè)數(shù)為紅球3個(gè)，白球2個(gè)，將抽出的球排成一排，僅有兩個(gè)紅球相鄰，
第一步先取球，共有C₄³C₆²=60種，
第二步，再排，先選2個(gè)紅球捆綁在一起，再和另外一個(gè)紅球排列，把2個(gè)白球插入，共有A₃²A₂²A₃²=72
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，60×72=4320種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分類(lèi)分步計(jì)數(shù)原理，解題的關(guān)鍵是對(duì)于分類(lèi)要做到不重不漏，準(zhǔn)確的表示出結(jié)果．是一個(gè)中檔題．