Question

已知函數(shù)f（x）=ln （ax+1）+，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=1處取得極值，可得f'（1）=0，即可求得a的值；
（2）設(shè)f′（x）=＞0，有ax²＞2-a，分類(lèi)討論：a≥2，則f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上遞增，f（x）的最小值為f（0）=1；0＜a＜2，可得f（x）在x=處取得最小值f（）＜f（0）=1，由此可得a的取值范圍．
解答：解：（1）f（x）=ln （ax+1）+=ln（ax+1）+-1，求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=，
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（1）=0，∴=0
∴a=1；
（2）設(shè)f′（x）=＞0，有ax²＞2-a，
若a≥2，則f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上遞增，∴f（x）的最小值為f（0）=1；
若0＜a＜2，則x＞，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（，+∞）上遞增，在（-∞，）上遞減，
∴f（x）在x=處取得最小值f（）＜f（0）=1．
綜上知，若f（x）最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值與最值，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．