Question

已知橢圓C：，過點B（0，1），離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點P（0，2）的直線l與橢圓交于M，N兩個不同的點，且使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓過點B（0，1），離心率為，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)，可得點M為PN的中點，再分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，即可求得直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知b=1，，解得a²=9
故橢圓M的方程為…（4分）
（Ⅱ）∵，∴點M為PN的中點，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則 x₂=2x₁①…（5分）
（1）當直線的斜率k不存在時，M（0，1），N（0，-1），P（0，2），不符合條件，此時直線方程不存在．…（7分）
（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為y=kx+2
由，消去y 得（9k²+1）x²+36kx+27=0
由△=（36k）²-4•（9k²+1）•27＞0，解得（*）    …（9分）
②，③
由①②③可得消去x₁，x₂，可得，故…（13分）
綜上可知：存在這樣直線l的方程為：…（14分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，正確運用韋達定理是關鍵．