如圖，已知Rt△BCD的一條直角邊BC與等腰Rt△ABC的斜邊BC重合，若AB=2，∠CBD=30°，
AD
=m
AB
+n
AC
，則m-n=
-1
-1
．
分析：由條件求得BC 的值、及∠ACD的值，建立坐標系，求得A、B、C、D的坐標，根據
AD
=m
AB
+n
AC
，求出m和n的值，即可求得m-n的值．
解答：解：由題意可得BC=
2
AB=2
2
，CD=BC•tan∠CBD=2
2
tan30°=
2
6
3
，
∠ACD=45°+90°=135°．
以 AC所在的直線為x軸，以AB所在的直線為y軸，建立坐標系，如圖：
作DH⊥x軸，H為垂足，
則CH=CDcos（180°-135°）=
2
3
3
，DH=CDsin（180°-135°）=
2
3
3
．
故D（2+
2
3
3
，
2
3
3
），再由題意可得B（0，2），C（2，0）．
∵
AD
=m
AB
+n
AC
，
∴（2+
2
3
3
，
2
3
3
）=m（0，2）+n（2，0）=（2n，2m），
∴2+
2
3
3
=2n，
2
3
3
=2m，∴m=
3
3
，n=1+
3
3
，∴m-n=-1，
故答案為-1．
點評：本題主要考查平面向量基本定理及其幾何意義，求出m和n的值，是解題的關鍵，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則BD=
 
cm．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分）
A．不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集為
 
．
B．如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則
BD
DA
=
 
．
C．已知圓C的參數(shù)方程為
x=cosα
y=1+sinα
（a為參數(shù)）以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ=1，則直線l與圓C的交點的直角坐標系為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（A）（不等式選做題）不等式|x+1|-|x-2|＞2的解集為
(
3
2
，+∞)
(
3
2
，+∞)
．
（B）（幾何證明選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為6cm，8cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則AD=
18
5
(或3.6)
18
5
(或3.6)
cm．
（C）（坐標系與參數(shù)方程選做題）圓C的參數(shù)方程
x=1+cosα
y=1-sinα
（α為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsinθ=1，則直線l與圓C的交點的直角坐標是
（0，1），或（2，1）
（0，1），或（2，1）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（A）（幾何證明選講選做題）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D，則BD的長為=
16
5
16
5
；
（B）（不等式選講選做題）關于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a2+a+1的解集為空集，則實數(shù)a的取值范圍是
（-1，0）
（-1，0）
；
（C）（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知極坐標的極點在直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C的參數(shù)方程為
x=3cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)），直線l的極坐標方程為ρcos(θ-
π
3
)=6．點P在曲線C上，則點P到直線l的距離的最小值為
6-
3
6-
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•汕頭二模）如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm，4cm，以AC邊為直徑與AB交于點D，則三角形ACD的面積為
54
25
cm2
54
25
cm2
．

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