Question

（1）已知函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ） 求f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ） 討論f（x）的單調(diào)性．
（2）已知f（x）=2+log₃x（x∈[1，9]），求函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的最大值與最小值．

Answer 1

（1）（Ⅰ）易得f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R}．設(shè)y=

ax-1

ax+1

，解得a^x=-

y+1

y-1

①
∵a^x＞0當(dāng)且僅當(dāng)-

y+1

y-1

＞0時(shí)，方程①有解．解-

y+1

y-1

＞0，求得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域?yàn)閧y|-1＜y＜1}．
（Ⅱ）f（x）=

(ax+1-2)

ax+1

=1-

2

ax+1

．
1°當(dāng)a＞1時(shí)，∵a^x+1為增函數(shù)，且a^x+1＞0．
∴

2

ax+1

為減函數(shù)，從而f（x）=1-

2

ax+1

=

ax-1

ax+1

為增函數(shù)．
2°當(dāng)0＜a＜1時(shí)，類(lèi)似地可得f（x）=

ax-1

ax+1

 為減函數(shù)．
（2）∵1≤x≤9，可得 0≤log₃x≤2，∴2≤f（x）≤4，∴4≤f²（x）≤16．
∵1≤x≤9，可得 1≤x²≤81，0≤log3x2≤4，∴2≤f（x²）=2+log3x2≤6．
故函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的最大值為16+6=22，最小值為 4+2=6．