Question

已知集合A={x|ax²+2x+1=0}．
（1）若A中只有一個(gè)元素，求a的值；
（2）若A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，A={x|2x+1=0}=，符合條件；
當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax²+2x+1=0為一元二次方程，要使A中只有一個(gè)元素，
則方程ax²+2x+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以△=4-4a=0?a=1．
所以，a的值為0或1．
（2）若A中至多只有一個(gè)元素，則A中只有一個(gè)元素，或A=φ．
由（1）知：若A中只有一個(gè)元素，a的值為0或1；
若A=φ，則方程ax²+2x+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解，所以△=4-4a＜0?a＞1．
所以，a≥1或a=0．
分析：（1）A中只有一個(gè)元素包含兩種情況：一次方程或二次方程只有一個(gè)根，二次方程根的個(gè)數(shù)通過(guò)判別式為0．
（2）A中至多只有一個(gè)元素包含只有一個(gè)根或無(wú)根，只有一個(gè)根的情況在（1）已解決；無(wú)根時(shí)，判別式小于0，解得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)方法、考查通過(guò)判別式解決二次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題．