Question

傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若|AF|，4，|BF|成等差數(shù)列，求直線AB的方程；
（2）若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交于x軸于點(diǎn)P，試證明|FP|-|FP|cos2α為定值，并求此定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）解1：由|AF|，4，|BF|成等差數(shù)列，知|AF|+|BF|=8=|AB|．由y²=8x，知焦點(diǎn)F為（2，0）．設(shè)AB的方程為：x=my+2，得y²-8my-16=0，由韋達(dá)定理和弦長公式能求出直線AB方程．
解2：令A(yù)（x₁•y₁），B（x₂•y₂），則|AF|=x₁+2|BF|=x₂+2，所以線段AB的中點(diǎn)的橫標(biāo)為=2．直線AB過焦點(diǎn)F（2，0），由此能求出直線AB方程．
（2）由已知令直線AB的方程為y=tanα•（x-2），由得：x²tam²α-4（tan²α+2）x+4tan²α=0∴x₁+x₂=y₁+y₂=tanα•（x₁+x₂-4）=，所以AB中線m的方程為：y-，由此能夠證明|FP|-|FP|cos2α為定值，并能求出此定值．
解答：（1）解法一：∵|AF|，4，|BF|成等差
∴|AF|+|BF|=8=|AB|
∵y²=8x
∴焦點(diǎn)F為（2，0）
設(shè)AB的方程為：x=my+2
則由：=8（my+2）
得 y²-8my-16=0
∴y₁+y₂=8m，y₁•y₂=-16
∴弦長|AB|=|
=
=
∴m=0
∴直線AB方程為x=2．
解法二：令A(yù)（x₁•y₁），B（x₂•y₂），
則|AF|=x₁+2，|BF|=x₂+2
∴|AF|+|BF|=x₁+x₂+4=8
即x₁+x₂=4
∴線段AB的中點(diǎn)的橫標(biāo)為=2
而直線AB過焦點(diǎn)F（2，0），
∴直線AB垂直x軸
即AB方程為x=2．
（2）證明：由已知令直線AB的方程為y=tanα•（x-2），則
由得：
∴x²tanα-4（tan²α+2）x+4tan²α=0，
∴x₁+x₂=y₁+y₂=tanα•（x₁+x₂-4）=
∴AB的中點(diǎn)為．
∴AB中垂線m的方程為：y-
令 y=0得：x=6+
∴|PF|=|x-2|=4+
∴|PF|-|PF|•cos2α=|PF|（1-cos2α）=2|PF|•sin²α
=8α
=8．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理和弦長公式的靈活運(yùn)用．