Question

已知(

3	x

-

1

x

)n的展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：7．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)（用組合數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）先求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，根據(jù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：7，可得

C 1 n

C 2 n

=

1

7

，由此解得n的值．
（2）在二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：（1）由于二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r n

(

3	x

)n-r(-

1

x

)r=

C

r n

(-1)rx

2n-5r

6

，
第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1：7．
∴

C 1 n

C 2 n

=

1

7

，
即

n

n(n-1) 2

=

1

7

，
即 

2

n-1

=

1

7

，
化簡(jiǎn)可得 n-1=14，解得n=15．
（2）由（1）得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為 Tr+1=

C

r 15

(-1)rx

30-5r

6

，
令

30-5r

6

=0，則r=6，
∴常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)，
即T6+1=

C

6 15

(-1)6=

C

6 15

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．