Question

在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB⊥AC，D，E分別是BC，A′B′的中點，AB=AC=2，AA′=4．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACC′A′；
（Ⅱ）求二面角B′-AD-C′的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）取AC的中點F，連結(jié)DF，A′F，由已知條件推導(dǎo)出四邊形DFA‘E是平行四邊形，由此能證明ED∥平面ACC’A′．
（Ⅱ）由題意推導(dǎo)出∠B′DC是二面角B′-AD-C′的平面角，由此能求出二面角B′-AD-C′的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AC的中點F，連結(jié)DF，A′F，
∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB⊥BC，D，E分別是BC，A′B′的中點，
∴DF∥AB，A‘F∥AB，∴DF∥A’E，
又∵DF=

1

2

AB，A‘E=

1

2

AB，∴DF=A’E，
∴四邊形DFA‘E是平行四邊形，
∴ED∥平面ACC’A′．
（Ⅱ）由題意，AD⊥BC，AD⊥CC′，BC∩CC′=C，
∴AD⊥平面BB′C‘C，
又∵B′D?平面BB′C’C，C′D?平面BB’C‘C，
∴AD⊥B’D，AD⊥C′D，
∴∠B′DC是二面角B′-AD-C′的平面角，
在△B′DC′中，B′D=3

2

，C′D=3

2

，B′C=2

2

，
∴cos∠B′DC′=

B′D2+C′D2+B′C2

2B′D•C′D

=

7

9

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．