Question

如圖，菱形的邊長為4，，.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

解析試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于相應(yīng)的底邊證明，然后結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先利用翻折時與的相對位置不變證明，然后利用勾股定理證明，并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理先證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（3）作，連接，利用（2）中的結(jié)論平面，先證明平面，進(jìn)而說明為二面角的平面角，然后在中計算，即可計算二面角的余弦值.
試題解析：（1）因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f2/a/1wfva3.png" style="vertical-align:middle;" />平面ABD，平面ABD，所以平面.
（2）因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，，所以在三棱錐中，.
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，
所以.因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ba/0/oouau.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c5/f/19kph3.png" style="vertical-align:middle;" />平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ff/1/b4p4h.png" style="vertical-align:middle;" />平面DOM，所以平面平面.
（3）作于，連結(jié)DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5d/a/156fl2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面ODE.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/02/b/dloms3.png" style="vertical-align:middle;" />平面ODE，所以.
所以是二面角的平面角.
在Rt△DOE中，，，，
所以.所以二面角的余弦值為.
考點(diǎn)：直線與平面平行、平面與平面平行、二面角