Question

7．定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$，設(shè)F（x）=f（x+4），且F（x）的零點均在區(qū)間（a，b）內(nèi)，其中a，b∈z，a＜b，則圓x²+y²=b-a的面積的最小值為（　�。�

• A． π
• B． 2π
• C． 3π
• D． 4π

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點的判斷定理判斷函數(shù)的零點，利用函數(shù)的周期關(guān)系判斷，函數(shù)F（x）的零點，求出a，b的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：由函數(shù)$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹⁵=$\frac{1-（-x）^{2016}}{1+x}$，
∵-1＜x＜1，∴1+x＞0，0≤x²⁰¹⁶＜1，則1-x²⁰¹⁶＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-（-x）^{2016}}{1+x}$=$\frac{1-{x}^{2016}}{1+x}$＞0，可得f（x）在（-1，1）上遞增，
∵f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$＜0，f（0）=1＞0
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上有唯一零點x₀∈（-1，0）
∵F（x）=f（x+4），得函數(shù)F（x）的零點是x₀-4∈（-5，-4），
∵F（x）的零點均在區(qū)間（a，b）內(nèi)，
∴a≤-5且b≥-4，得b-a的最小值為-4-（-5）=1
∵圓x²+y²=b-a的圓心為原點，半徑r=$\sqrt{b-a}$
∴圓x²+y²=b-a的面積的最小值是π．
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)零點的判斷和應(yīng)用，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及利用函數(shù)零點的性質(zhì)判斷函數(shù)的零點所在的區(qū)間是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．