AB和平面M所成角是a ，AC在平面M內(nèi)，AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成角是b ，設(shè)∠BAC=q ．求證：a 、b 、q 滿足關(guān)系式cosq =cosa ·cosb ．

答案：
解析：

證明：根據(jù)題意正確畫出圖形，利用三垂線定理及其逆定理，構(gòu)造直角三角形，利用各角余弦值的關(guān)系證明等式成立．

　　作圖(如圖所示)，在點B和AC確定的平面內(nèi)作BD⊥AC，D為垂足，作BB1⊥平面M，垂足為B1，連結(jié)B1D，AB1

　　∵　BB1⊥平面M，AC平面M

　　∴　AC⊥B1D

　　在RT△ADB中，cosq=

　　在RT△ABB1中，cosa=

　　在RT△ADB1中，cosb=

　　∴　cosa·cosb=cosq

　　即cosq=cosa·cosb．

　　說明：本題證明中通過三垂線定理將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題，這是立體幾何問題解答中的一個重要思想方法．由cosq=cosa·cosb，顯然有cosq＜cosa，由于a和q都是銳角，故a＜q，這是一個很重要的結(jié)論．


練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB ，  AB=2 ，  EB=
3
 ，  EF=1 ，BC=
13

且M是BD的中點．
（1）求證：EM∥平面ADF；
（2）求直線DF和平面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角D-AF-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

AB和平面M所成角是a ，AC在平面M內(nèi)，AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成角是b ，設(shè)∠BAC=q ．求證：a 、b 、q 滿足關(guān)系式cosq =cosa ·cosb ．

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AB和平面M所成的角是a，AC在平面M內(nèi)，AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成的角是b，設(shè)∠BAC=q，

求證：a、b、q滿足關(guān)系式cosq=cosa·cosb

 

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AB和平面M所成的角是α,AC在平面M內(nèi),AC和AB在平面M內(nèi)的射影AB1所成的角是β,設(shè)∠BAC=θ,求證:α、β、θ滿足關(guān)系式cosθ=cosα·cosβ.

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